Soit a et b deux entiers. On note et
.
Déterminer .
Analyse
Un exercice assez court faisant appel à un résultat très classique : si deux entiers sont premiers entre eux alors leur somme et leur produit le sont également. Le théorème de Bezout est utilisé à maintes reprises …
Résolution
On a : et
avec
.
D’où :
.
Par ailleurs : .
On a donc :
Nous allons montrer le résultat (classique) : .
Les entiers et
étant premiers entre eux, le théorème de
Bezout nous permet d’affirmer qu’il existe deux entiers u et v
tels que :
.
On en déduit alors :
,
soit :
(1)
Et, de façon analogue :
,
soit :
(2)
Les égalités (1) et (2) et le théorème de Bezout nous permettent alors respectivement de conclure que :
- etsont premiers entre eux ;
- etsont premiers entre eux.
En multipliant membre à membre les égalités (1) et (2), il vient :
Soit :
Le théorème de Bezout (encore une fois !) nous permet
donc de conclure que et
sont premiers entre eux (résultat classique à
retenir ou savoir retrouver très vite).
Finalement :
Résultat final
Quels que soient les entiers a et b, on a :