Puisque nous devons raisonner modulo 7, il semble « naturel » de travailler dans l’ensemble  …

 

 

 

Notons , dans , la classe d’équivalence de l’entier . On a : .

On procède de même avec les deux autres entiers  et .

On a alors les équivalences :

 

 

Comme  on a les sept calculs suivants :

 

 

Supposons alors qu’aucun des trois entiers ne soit divisible par 7. Les valeurs possibles de la somme  seraient alors, d’après les calculs précédents :

 

 

Ainsi, l’un des trois entiers a, b ou c est nécessairement divisible par 7 et il en va alors de même pour leur produit.

 

Remarquons que la somme  est nulle sans nécessairement que les trois entiers soient divisibles par 7. En effet, on a : . Ainsi, on peut par exemple considérer un entier divisible par 7, le second congru à 2 modulo 7 et le troisième congru à 5 modulo 7.

Par exemple : ,  et  donnent :