On dispose de deux urnes U1 et U2.
L’urne U1 contient 2 boules rouges et 3 boules blanches.
L’urne U2 contient 5 boules rouges et 4 boules blanches.
Les boules sont de taille identique et indiscernables au toucher.
On procède au jeu suivant :
On dispose de 7 cartes à jouer : 3 cœurs et 4 piques.
Un joueur tire une carte au hasard.
Si cette carte est un coeur, le joueur tire une boule dans la première urne.
Si cette carte est un pique, le joueur tire une boule dans la deuxième urne.
Si le joueur a tiré une boule rouge, il a gagné, sinon il a perdu.
Calculer la probabilité que le joueur gagne. Le jeu est-il avantageux ?
Analyse
Il s’agit d’un exercice que l’on peut directement résoudre à l’aide de la formule des probabilités totales. Pour cela, on commence par définir une partition simple de l’univers …
Résolution
Notons l’univers associé à l’expérience aléatoire
considérée.
Considérons les événements :
· C : « Le joueur tire un cœur » ;
· R : « Le joueur tire une boule rouge ».
Les événements C et forment, en tant qu’événements
complémentaires, une partition de l’univers
.
On cherche la probabilité de l’événement R : .
La formule des probabilités totales donne directement :
Puisqu’il y a un total de 7 cartes réparties en 3 cœurs et 4 piques, il vient :
et
Par ailleurs, lorsque le joueur doit tirer une boule dans la
première urne (l’événement C est donc réalisé), on a : (2 boules rouges pour un total de 5 boules).
Mais quand le joueur doit tirer une boule dans la deuxième
urne (c’est cette fois l’événement qui est réalisé), on a :
.
Il vient alors :
Finalement :
Cette probabilité est légèrement inférieur à et le jeu n’est, de ce fait, pas avantageux
pour le joueur (comme de nombreux jeux de hasard …).
Résultat final
La probabilité de gagner (c’est à dire de tirer une boule rouge) est égale à :
Le jeu n’est pas favorable au joueur.