On dispose de n urnes notées U1, U2, …, Un.
Chaque urne contient boules de taille identique et indiscernables
au toucher.
· L’urne U1 contient 1 boule rouge et n boules blanches ;
· L’urne U2 contient 2 boules
rouges et boules blanches ;
· …
· L’urne Un contient n boules rouges et 1 boule blanche.
Les boules sont de taille identique et indiscernables au toucher.
On tire au hasard le numéro (de 1 à n) d’une urne, k, et on tire alors une boule dans l’urne Uk.
Calculer la probabilité que la boule tirée soit rouge.
Analyse
Il s’agit d’un exercice qui peut être rapidement résolu à l’aide de la formule des probabilités totales. Pour cela, on commence par définir une partition de l’univers …
La difficulté réside dans le fait que le nombre n n’est pas précisé.
Résolution
Notons l’univers associé à l’expérience aléatoire
considérée.
Considérons l’événement :
R : « La boule tirée est une boule rouge ».
Notons Tk l’événement « la boule est tirée dans l’urne Uk ».
Les n événements Tk forment une partition
de l’univers puisque leur union est égale à
et qu’ils sont disjoints deux à deux (la boule
est tirée dans une urne et une seule !).
On peut alors écrire :
Puisqu’il y a équiprobabilité dans le choix de l’urne, on
a : .
Evaluons maintenant .
L’urne Uk contient k boules rouges
et boules blanches (soit
boules au total).
Il vient donc : .
On en déduit alors :
Finalement :
Résultat final
La
probabilité de tirer une boule rouge est égale à : .