Une urne contient 3 boules vertes, 5 boules bleues et 8 boules rouges. Ces boules sont indiscernables au toucher.
1. On tire successivement 3 boules de l’urne sans remise.
Calculer la probabilité que les 3 boules tirées soient de la même couleur.
2. Même question sachant que l’on tire cette fois trois boules de l’urne en remettant la boule dans l’urne après chaque tirage.
3. L’urne contient désormais n boules vertes ( ), 5 boules bleues et 8 boules rouges.
On tire successivement 2 boules sans remise.
Déterminer les valeurs de n telles que la probabilité de tirer 2 boules vertes soit inférieure à .
Il s’agit d’un exercice typique de tirages successifs effectués avec ou sans remise. Il convient d’avoir une vision claire de l’arbre correspondant à chacune des deux expériences aléatoires mentionnées. Représenter ces arbres n’est ni demandé ni obligatoire mais peut aider. La dernière question nous conduit à une inéquation d’un type bien connu …
Nous pouvons représenter chaque issue sous la forme d’une
liste construite à l’aide des lettres V, B et R. Par exemple,
Soit alors A l’événement « les trois boules tirées sont de la même couleur ».
A est réalisé par les issues : VVV, BBB et RRR.
En tenant compte des quantités de boules, de la quantité totale de boules (16) et du fait qu’il n’y a pas remise, on a :
On en déduit alors :
La probabilité de tirer trois boules de la même couleur vaut .
Les tirages sont, cette fois-ci, effectués avec remise. L’état de l’urne est donc le même avant chaque tirage.
Ce sont encore les trois listes VVV, BBB et RRR qui réalisent l’événement « les trois boules tirées sont de la même couleur » que nous notons encore A.
On a :
On en déduit alors :
La probabilité de tirer trois boules de la même couleur vaut .
Les tirages s’effectuant sans remise et le nombre total de boules étant de , il vient :
On doit donc résoudre : .
D’après l’expression de obtenue précédemment, il vient :
Plaçons dans et résolvons alors : .
Puisque , on a et . L’inéquation est alors équivalente à :
Soit :
Après avoir développé et regroupé dans le membre de gauche, il vient :
Nous avons ainsi affaire à une inéquation du second degré.
On a : .
D’où les deux racines : et .
L’inéquation est donc vérifiée pour tout x réel compris entre et .
Comme : (à près), on en déduit que les valeurs de n pour lesquelles la probabilités est strictement inférieure à sont les valeurs entières comprises entre 1 et 13.
A titre de vérification (partielle), on a :
Pour , et .
Pour , et
Finalement :
La probabilités est strictement inférieure à
pour les valeurs de l’entier n comprises entre 1 et 13.