Soit n un entier supérieur ou égal à 2.
On considère une urne contenant :
· 1 boule portant le numéro 1 ;
· 2 boules portant le numéro 2 ;
· …
· n boules portant le numéro n.
1. Donner, en fonction de n, le nombre total de boules de l’urne ;
2. On tire au hasard simultanément (ou successivement sans remise) deux boules de l’urne :
a. Quelle est la probabilité de tirer les deux boules numérotées 2 ?
b. Quelle est la probabilité de tirer deux boules numérotées k (k étant un entier supérieur ou égal à 1) ;
c. On note M l’événement « les deux
boules tirées portent le même numéro » et on note sa probabilité.
Montrer
que : .
Analyse
L’exercice peut s’avérer délicat en ce sens que l’on doit bien distinguer les raisonnements portant sur les familles de ceux portant sur les enfants.
Nous fournissons deux approches. La seconde, bien que plus « probabiliste » que la première, est cependant moins détaillée, l’essentiel des difficultés se trouvant abordé dans la première approche.
Résolution
Question 1.
Notons N le nombre total de boules de l’urne.
On a immédiatement :
L’urne
contient un total de boules.
Question 2.a.
Nous faisons l’hypothèse que les tirages sont équiprobables.
Le nombre total de tirages possibles est celui de deux objets pris parmi N, savoir :
Il s’agit du cardinal de l’univers considéré :
.
L’événement « Tirer les deux boules portant le numéro 2 » est réalisé par une seule issue puisque l’urne ne contient que … deux boules portant le numéro 2 !
Si on note la probabilité de cet événement, on a :
La
probabilité de tirer les deux boules portant le numéro 2 vaut : .
Question 2.b.
Notons (
) la probabilité de tirer deux boules portant
le numéro k.
Déterminons le nombre d’issues réalisant l’événement « Tirer deux boules portant le numéro k ».
Le nombre de façon de tirer deux telles boules est le nombre de possibilités de choisir 2 boules portant le numéro k parmi les k boules portant ce numéro, savoir :
Dans ces conditions, il vient :
La
probabilité de tirer deux boules portant le numéro k vaut : .
Question 2.c.
Soit M l’événement « les deux boules tirées portent le même numéro ».
Si on note l’événement « les deux boules tirées
portent le numéro k » (
), on a :
Par ailleurs, pour tout couple d’entiers ,
i et j étant différents et compris entre 2 et n, les
événements
et
sont incompatibles :
.
On a, dans ces conditions :
D’après la question précédente, il vient alors :
Puisque s’annule pour
,
on peut finalement écrire :
On a :
On a finalement :
La probabilité de l’événement « les deux boules tirées sont de la même couleur » est bien égale à :