Soit A et B deux événements tels que :
,
et
Calculer les probabilités des événements suivants :
· E : « Au moins l’un des deux événements A et B se produit » ;
· F : « Un seul des deux événements A et B se produit ».
Analyse
Application directe du cours pour la première probabilité (probabilité d’une union).
Le deuxième calcul requiert un peu plus de travail … La « symétrie » de l’événement F pouvant aider au calcul de sa probabilité.
Résolution
On a immédiatement : .
On en tire alors :
L’événement F correspond à « A ou B mais pas A
et B » soit, en notation ensembliste : .
On reconnaît la différence symétrique :
.
On a alors :
Remarques :
1. On pouvait aussi écrire :
Comme, ici, on a : ,
on obtient directement :
2. On pouvait également utiliser l’expression suivante de la différence symétrique :
La probabilité est alors celle d’une union de deux événements disjoints :
On retrouve l’expression obtenue précédemment.
Résultat final
Avec ,
et
,
il vient :