Une urne contient des boules rouges et vertes indiscernables au toucher. On choisit 3 boules au hasard sans remise.
1. Dans un premier temps, on suppose que l’urne contient 5 boules rouges et 4 boules vertes. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une boule verte ?
2. Dans un deuxième temps, on suppose que
l’urne contient n boules rouges et p boules vertes ( et
).
a. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une boule verte ?
On note cette probabilité.
b. On suppose p
fixé. Peut-on conjecturer la valeur de ?
Valider la conjecture à l’aide d’un calcul.
Analyse
Un exercice où l’on met en œuvre les coefficients binomiaux (et un calcul de limite simple) sans pour autant parler de loi binomiale !
Résolution
Question 1.
Commençons par déterminer le nombre N de tirages possibles.
Il s’agit ici du nombre de façons de choisir 3 boules parmi
un total de .
Il vient donc immédiatement :
.
Notons A l’événement « Obtenir au moins une boule
verte » et la probabilité correspondante.
L’événement contraire, ,
correspond à « Ne pas obtenir de boule verte ». Le nombre d’issues
réalisant
est égal aux nombre de choix de trois boules
rouges parmi les 5 disponibles soit :
.
On a donc : .
La
probabilité d’obtenir au moins une boule verte est égale à .
Question 2.a.
On raisonne comme précédemment mais on a cette fois :
·
Le nombre N de tirages possibles
(choix de 3 boules parmi un total de ) :
· Le nombre de possibilités de choisir 3 boules parmi les n boules rouges :
· La probabilité de l’événement « Obtenir au moins une boule verte » :
La probabilité d’obtenir au moins une boule verte est égale à :
Question 2.b.
Supposons donc le nombre de boules vertes fixé (il y en a p) et imaginons que l’on augmente le nombre de boules rouges (il y en a n). Dans la mesure où on continue de tirer 3 boules, on va obtenir de moins en moins souvent une boule verte et on peut conjecturer :
A partir du résultat obtenu à la question précédente, on peut poser :
Où f est la fonction définie sur par :
.
La fonction f étant une fonction rationnelle, rapport de deux fonction polynôme de degré 3, on a immédiatement :
D’où : et, finalement :
On a bien :