Nous avons affaire à une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre non nul.

 

Le second membre est une fonction définie sur , on cherche des solutions définies sur cet ensemble.

 

 

 

Nous allons d’abord résoudre l’équation sans second membre associée à (E) puis déterminer une solution particulière.

 

Résolution de l’équation sans second membre

 

Soit donc à résoudre :  (E’)

 

On a classiquement :

 

 

où K est une constante réelle quelconque.

 

La solution générale de l’équation sans second membre est :

 

 

 

 

Détermination d’une solution particulière de (E)

 

La forme du second membre de l’équation (E) nous conduit (voir le cours) à rechercher une solution particulière  de la forme  où A et B sont deux constantes à déterminer.

 

On a :  

 

La fonction  est solution de l’équation différentielle (E) si, et seulement si :

 

 

 

On peut alors écrire :

 

 

 

Le système ainsi obtenu se résout facilement et on obtient :

 

 et  

 

 s’écrit donc :

 

 

 

Si l’on ne se souvient pas du fait qu’il faut rechercher une solution particulière de la forme , on peut avoir recours à la méthode classique de variation de la constante en cherchant  sous la forme : .

 

Dans ce cas, on a :  

 

On a alors  solution de (E) si et seulement si :

 

 

 

On doit donc calculer une primitive de la fonction .

 

Ce calcul d’intégration est classique et nous le menons ici en considérant en fait :

 

 

 

Note : nous n’avons pas fait apparaître ici la constante d’intégration au niveau du calcul de primitives car nous ne recherchons qu’une seule primitive.

 

La partie réelle du résultat obtenu correspond à la fonction K(x) cherchée.

 

On a finalement :

 

 

 

On retrouve la solution particulière précédemment obtenue.