Nous avons affaire à une équation différentielle linéaire du second ordre avec second membre non nul.

 

Les fonctions coefficients du premier membre et le second membre sont des fonctions définies sur , on cherche donc des solutions à priori définies sur cet ensemble.

 

 

Nous allons d’abord résoudre l’équation sans second membre associée à (E) puis déterminer une solution particulière.

 

Recherche d’une solution de l’équation sans second membre

 

Soit donc à résoudre :  (E’)

 

Comme suggéré, nous allons chercher une solution particulière  de la forme .

 

 est solution de (E’) si, et seulement si, on a pour tout x :

 

 

 

La fonction  définie sur  par  est solution particulière de (E’).

 

On en déduit, cette équation étant linéaire, que toutes les fonctions y de la forme , où K est une constante réelle quelconque, sont solutions de (E’).

 

 

Résolution complète de (E)

 

Disposant d’une solution particulière de (E’), nous pouvons mener la résolution complète de (E) en utilisant la méthode de variation de la constante.

 

On va donc chercher des solutions sous la forme :  où K est une fonction à déterminer.

 

En utilisant :  et  on a  solution de (E) si, et seulement si :

 

 

 

En posant , on est ramené à l’équation différentielle du premier ordre suivante :

 

 (E’’)

 

Nous commençons par résoudre l’équation sans second associée :  

 

Pour  (on cherche donc des solutions définies sur  ou  ) on a immédiatement :

 

 

 

où k est une constante réelle quelconque.

 

Pour déterminer une solution particulière  de (E’’), nous appliquons ici encore la méthode de variation de la constante en cherchant  sous la forme :  

 

 est solution de (E’’) si, et seulement si :

 

 

 

Les simplifications par x sont autorisées puisque nous nous sommes placés sur un intervalle où .

On obtient immédiatement : .

Il est inutile de rajouter une constante d’intégration puisque nous recherchons une solution particulière.

 

Il vient finalement :  

 

La solution générale de l’équation (E’’) s’écrit alors :  

 

Comme nous avions posé , il nous faut désormais calculer :

 

 

 

Seule la première intégration est menée ici.

Pour cela, nous effectuons le changement de variable :  qui entraîne .

On a alors :

 

 

 

où C est une constante réelle quelconque.

 

Finalement, on a :

 

 

 

et :

 

 

 

On note qu’en ayant conservé la constante d’intégration C, on retrouve les solutions de la forme .

 

Finalement, la solution générale de l’équation (E) s’écrit :

 

 

 

Il convient désormais de préciser sur quel intervalle une solution donnée est définie puisque nous avons mené notre résolution sur  ou .

 

La question est donc de savoir s’il existe une(des) solution(s) définie(s) sur .

 

Pour cela, nous allons étudier le comportement en  de la fonction f définie comme suit :

 

 

 

Est-il possible de prolonger f par continuité en 0 ?

 

Comme on a , il vient :  

 

La prolongation par continuité de f en 0 est donc assurée en posant simplement  

 

Nous considérons donc désormais la fonction f définie par :

 

 

 

Etudions maintenant la dérivabilité de f en 0.

 

Sur , on a :

 

 

 

Comme on a  (poser, par exemple,  ), il vient : .

 

Le calcul sur  est analogue et on obtient : .

 

On en déduit : .

La fonction f est dérivable en 0 et sa dérivée est nulle.

 

On notera que ce résultat est indépendant des valeurs des constantes .

 

Etudions enfin l’existence de la dérivée seconde de f en 0.

 

D’après ce qui précède, on a sur  :

 

 

 

On constate ici que l’on a, pour toute valeur des constantes  :  

 

La fonction f n’est donc pas dérivable une seconde fois en 0 et n’est donc pas solution sur  de l’équation différentielle (E).