Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre non nul.

 

Nous recherchons à priori des solutions définies sur .

 

 

 

Résolution de l’équation sans second membre

 

Elle s’écrit :  (E’)

 

Les variables peuvent être séparées mais il nous faut . A partir de maintenant, nous supposons donc que nous travaillons sur l’un des trois intervalles suivants : ,  ou .

 

Dans ces conditions, (E’) se récrit :

 

 

 

L’intégration est immédiate et on obtient :

 

 

 

la constante d’intégration C (et donc la constante k) étant quelconque.

 

On en déduit finalement :

 

 

 

où K est une constante réelle quelconque.

 

Détermination d’une solution particulière de (E)

 

Pour déterminer une solution particulière  de (E), nous allons appliquer la méthode de variation de la constante au résultat précédemment obtenu.

 

On cherche donc  sous la forme :  où K est cette fois une fonction inconnue à déterminer.

 

Nous continuons, par ailleurs, de travailler sur l’un des trois intervalles mentionnés plus haut.

 

Dans ces conditions, on a :  

 

 est donc solution de (E) si, et seulement si :

 

 

 

La dernière équivalence est légitime puisque nous avons fait l’hypothèse .

 

Pour déterminer K, nous décomposons d’abord la fraction  en éléments simples. Le calcul est aisé et on a :  

 

On doit donc finalement déterminer une primitive de :  

 

On a :

 

 

Nous n’avons pas fait apparaître la constante d’intégration puisqu’une seule primitive nous intéresse.

 

La solution particulière de (E) s’écrit finalement :

 

 

 

 

Intervalle de définition des solutions

 

De ce qui précède, on tire que la solution générale de (E) sur l’un des trois intervalles ,  ou  s’écrit :

 

 

 

Peut-on définir une solution sur l’intervalle

 ?

 

On commence par considérer la fonction f définie sur  comme suit :

 

 

 

Les deux constantes  et  sont quelconques.

 

Nous allons étudier les limites éventuelles de cette fonction à gauche et à droite de 1.

 

On a :

 

 

 

Note : la deuxième limite est nulle car on a :

 

 

 

De la même façon, on obtient :  

 

On a :  et cette valeur ne dépend pas des constantes  et .

La fonction f peut donc être prolongée par continuité en 1 en posant :  

 

Etudions maintenant la dérivabilité de f en 1.

 

Sur , on a :

 

 

 

On a :  mais  

 

D’où :  

 

La fonction  n’admettant pas de limite finie lorsque l’on fait tendre x vers 1 par valeur inférieure, on en déduit que la fonction f prolongée en 1 n’est pas dérivable en 1.

 

Il n’est donc pas possible de définir de solution de (E) sur l’intervalle .

 

Peut-on définir une solution sur l’intervalle

 ?

 

Nous procédons comme précédemment en considérant la fonction g définie comme suit :

 

 

 

Nous allons cette fois étudier le comportement de g au voisinage de 0.

 

A gauche de 0, nous récrivons g comme suit :

 

 

 

Au voisinage de 0, on a  et donc : . Donc, le seul terme qui peut tendre vers l’infini lorsque x tend vers 0 est : .

Mais ce terme peut être éliminé si nous choisissons : .

 

Dans ce cas, il vient : .

 

De façon analogue, en choisissant , on obtient : .

 

Avec , on a donc :  et on peut prolonger par continuité la fonction g en 0 en posant .

 

Qu’en est-il, dans ces conditions, de la dérivabilité de g en 0 ?

 

Les valeurs de  et  étant fixée et égales, on peut donner l’expression de  valable à gauche et à droite de 0 :

 

 

 

Pour calculer la limite éventuelle de cette expression en 0, nous effectuons un développement limité de  à l’ordre 2 (comme nous allons diviser par , il n’est pas nécessaire d’aller plus loin) :

 

 

 

Donc  c’est à dire :  

 

La fonction g est donc dérivable en 0 et sa dérivée est nulle.

 

De ce qui précède, on déduit que la fonction g définie ci-dessous est solution de l’équation différentielle (E) sur l’intervalle  :