Nous avons affaire à une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre non nul.

 

Le coefficient de  et le second membre sont des fonctions définies sur , on cherche donc à priori des solutions définies sur cet ensemble.

 

 

 

Nous allons d’abord résoudre l’équation sans second membre associée à (E) puis déterminer une solution particulière.

 

Résolution de l’équation sans second membre

 

Soit donc à résoudre :  (E’)

 

Les variables sont séparables à la condition d’avoir  c’est à dire : .

 

Dans ce qui suit, on se place donc sur un intervalle de la forme : .

 

Dans ces conditions, on a :

 

 

 

Le calcul de  peut être simplement mené en effectuant le changement de variable :  qui donne : . Soit : .

 

Par ailleurs, on a classiquement : .

Il vient donc :

 

 

 

On en déduit : .

 

Soit, finalement :

 

 

 

Où K est une constante réelle quelconque.

 

Remarque : la fonction  est parfaitement définie sur l’intervalle  puisque l’on a : .

 

 

Détermination d’une solution particulière de (E)

 

Pour obtenir une solution particulière  de (E), nous allons utiliser la méthode de variation de la constante en recherchant  sous la forme : . Les calculs sont, ici encore, menés sur un intervalle de la forme : .

 

On a alors :  solution de (E) si, et seulement si  

 

C’est à dire : .

 

Nous transformons d’abord cette égalité en utilisant :  

 

Il vient alors :  

 

On est donc ramené au calcul suivant : . On le mène en faisant apparaître sous le signe somme la dérivée de  :

 

 

 

Nous n’avons pas fait apparaître la constante d’intégration puisque nous sommes à la recherche d’une solution particulière de (E).

 

Il vient finalement : .