Nous avons affaire à une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants avec second membre non nul.

 

On résout d’abord l’équation sans second membre en déterminant les racines du polynôme caractéristique puis on cherche une solution particulière de (E) en notant que le second membre est la somme de deux termes de natures différentes …

 

 

 

Résolution de l’équation sans second membre

 

Soit donc à résoudre :  (E’)

 

L’équation caractéristique associée à (E’) s’écrit : . Elle admet donc une racine double : .On en déduit que la solution générale  de l’équation sans second membre (E’) s’écrit :

 

 

 

où  et  sont deux constantes réelles quelconques.

 

 

Détermination d’une solution particulière de (E)

 

Comme nous l’avons laissé entendre dans l’analyse, la forme du second membre suggère que nous considérions en fait les deux équations suivantes :

 

 (E₁)

 (E₂)

 

On va alors déterminer  et , solutions particulières de, respectivement, (E₁) et (E₂). La somme  sera alors une solution particulière de (E) suivant le principe de « superposition des solutions » (voir le cours).

 

Détermination de y₁

 

Le second membre de (E₁) est de la forme  où le degré de P vaut 1 et où le coefficient est racine double de l’équation caractéristique associée à (E’).

 

On sait alors (voir cours) que la solution particulière  sera de la forme :  où le degré de Q est égal à celui de P.

 

On cherche donc : .

 

On a simplement :  

Et :  

 

On en tire alors que  est solution de (E₁) si, et seulement si :

 

 

 

D’où, finalement :

 

 

 

Détermination de y₂

 

Ici, le second membre de (E₂) est un polynôme de degré 2. Nous cherchons donc (voir cours) une solution particulière  sous la forme d’un polynôme de degré 2 également.

 

Soit donc :  

 

On a :  et  

 

 est solution particulière de (E₂) si et seulement si :

 

 

 

Soit :