Nous avons affaire à une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients non constants et second membre nul.

 

On utiliser bien sûr le fait qu’une solution nous soit indiquée pour, via la méthode de Lagrange (variation de la constante), en déterminer une seconde qui soit linéairement indépendante de la première.

 

Note : si une solution ne nous avait pas été indiquée, on aurait pu l’obtenir en s’arrêtant un instant aux coefficients du premier membre. En effet, dans le cas d’une équation différentielle linéaire du second ordre de forme générale , si on constate que  (comme c’est le cas ici) alors la fonction exponentielle est solution de l’équation elle-même si le second membre est nul ou de l’équation sans second membre si ce dernier n’est pas nul.

 

 

 

D’après ce qui précède, nous recherchons une autre solution  de (E) sous la forme .

Ses dérivées s’écrivent :

 

 

 

 

 est solution de (E) si, et seulement si :  

 

Soit :

 

 

 

Nous nous sommes ramenés à une équation différentielle linéaire du second ordre incomplète (K n’y apparaît pas … c’est tout l’intérêt de la méthode de Lagrange !). En posant , l’équation se récrit :

 

 

 

Pour  (à partir de maintenant, nous travaillons donc sur l’un des deux intervalles  et  ), on peut séparer les variables :

 

 

 

Nous effectuons une intégration membre à membre sans rajouter de constante d’intégration puisqu’une seule solution de l’équation (E’) nous suffit. On obtient alors :

 

 

 

On peut alors choisir :  dont nous devons calculer une primitive.

z étant de la forme  où  et P est un polynôme de degré 2, nous savons (voir cours) que les primitives de z seront de la forme : . Nous allons donc chercher K sous la forme  et vérifiant .

 

On a . L’identification nous donne alors le système suivant :

 

 

 

D’où : . En multipliant par , on obtient finalement :

 

 

 

Note : pour le résultat final, on doit souligner que le facteur multiplicatif  peut être supprimé puisque toute solution de (E) fournit, lorsqu’on la multiplie par une constante, une autre solution de (E) (celle-ci étant linéaire).

On retiendra donc finalement :

 

 

 

Bien que nous ayons, pour les besoins du calcul, travaillé sur les intervalles  et , on constate que cette solution, et donc toute solution de la forme , sera définie sur .

 

Les solutions de (E) sur  sont donc les fonctions f de la forme :

 

 

 

où  et  sont deux constantes réelles quelconques.

 

L’étude au point  doit cependant être poussé davantage.

 

On vérifiera facilement qu’en ce point, une telle fonction vérifie :

 

.

 

De fait, si on considère la fonction  définie par :

 

 

 

on aura :

 

 

et

 

 

Ainsi, une telle fonction, peut être prolongée par continuité en  si, et seulement si :

 

 

 

Dans ce cas, la fonction est deux fois dérivable et est solution de l’équation différentielle (E).