Nous avons affaire à une équation différentielle linéaire du second ordre avec second membre non nul.

 

Les fonctions coefficients du premier membre et le second membre sont des fonctions définies sur , nous menons donc la résolution sur cet intervalle.

 

 

 

Nous allons d’abord résoudre l’équation sans second membre associée à (E) puis en déterminer une solution particulière.

 

Recherche d’une solution de l’équation sans second membre

 

Soit donc à résoudre :  (E’)

 

Comme suggéré, nous allons chercher une solution particulière  de la forme . Pour , on a alors :  et .

 

 est solution de (E’) si, et seulement si, on a pour tout x réel :

 

 

 

La fonction  définie sur  par  est donc solution particulière de (E’).

On en déduit, cette équation étant linéaire, que toutes les fonctions y de la forme , où K est une constante réelle quelconque, sont solutions de (E’).

 

 

Résolution complète de (E’)

 

Disposant d’une solution particulière de (E’), nous pouvons en effectuer la résolution complète en utilisant la méthode de variation de la constante.

 

On va donc chercher des solutions sous la forme :  où K est une fonction à déterminer.

 

En utilisant :  et  on a  solution de (E’) si, et seulement si :

 

 

 

En posant , on est ramené à l’équation différentielle du premier ordre suivante :

 

 

 

Pour , c’est à dire en se plaçant sur l’un des trois intervalles ,  ou , nous pouvons écrire :

 

 

 

La fraction rationnelle obtenue se décompose en éléments simples comme suit :

 

 

 

On a donc :  que l’on intègre membre à membre sans avoir besoin d’ajouter de constante d’intégration puisque nous cherchons une autre solution de (E’).

 

Il vient :

 

 

Finalement, on peut retenir :  dont il nous faut déterminer une primitive puisque nous avions posé . Ici encore, nous commençons par décomposer cette fraction rationnelle en éléments simples. L’approche la plus rapide consiste à effectuer la division suivant les puissances croissantes à l’ordre 2 du numérateur par  :

 

 

 

G se récrit alors :

 

 

 

On peut alors procéder à l’intégration membre à membre sans introduire de constante d’intégration pour la même raison que celle invoquée plus haut :

 

 

 

On obtient alors  en multipliant  par  :

 

 

 

De ce qui précède, on tire l’expression générale des solutions de l’équation sans second membre (E’) :

 

 

 

où  et  sont deux constantes réelles quelconques.

 

Ces solutions sont valables, dans le cas général, sur l’un quelconque des trois intervalles : ,  ou .

 

 

Résolution complète de (E) : recherche d’une solution particulière

 

Une solution particulière  de (E) peut être obtenue grâce à la méthode de variation de la constante mais en considérant cette fois l’équation (E) au lieu de l’équation (E’). Nous cherchons donc  sous la forme : .

 

 

 est solution de (E) si, et seulement si on a sur l’un des trois intervalles ,  ou  que nous désignons par I :

 

 

 

En posant , nous récrivons cette équation comme suit :

 

 

 

Nous en connaissons la solution générale de l’équation sans second membre associée :

 

 

 

En appliquant alors la méthode de variation de la constante avec , on a :

 

 

 

Soit  et donc : .

On en déduit qu’une solution particulière de (E’’’) est : . Nous en déterminons une primitive pour obtenir : .

 

En multipliant enfin par , on obtient finalement :

 

 

 

 

La solution générale de l’équation différentielle (E) s’écrit finalement :

 

 

 

 

Intervalles de validité des solutions

 

Nous avons vu que les solutions générales de l’équation (E’) étaient définies sur l’un des trois intervalles ,  ou .

 

Il convient maintenant d’étudier l’existence éventuelle de solutions de (E) définies sur des intervalles contenant 1 ou 0.

 

Etude en 1.

 

Nous considérons ici une fonction f définie comme suit :

 

 

 

Est-il possible de prolonger f par continuité en -1 ?

 

A gauche de 1, on récrit f de la façon suivante :

 

 

 

Lorsque x tend vers 1 par valeurs négatives, le seul terme posant problème est  puisque l’on a :  et que, par ailleurs, les autres termes admettent une limite finie en ce point : .

Or, le coefficient de  est .

La limite de f en 1 à gauche est donc finie si, et seulement si, nous choisissons : .

On a alors :  

 

De façon analogue, pour , la limite de f en 1 à droite est finie et vaut : .

 

La fonction f peut donc être prolongée en 1 si, et seulement si, nous avons  et .

 

Soit :  

 

On peut alors prolonger f par continuité en 1 et on a .

 

Considérons donc maintenant la fonction  définie comme suit :

 

 

 

Etudions la dérivabilité de  en 1 :

 

Sur , on a : .

 

Comme , on a :

 

 

 

 est donc dérivable en 1 et on a : .

 

Etudions maintenant la dérivabilité seconde de  en 1 :

 

Sur , on a : .

 

On a alors immédiatement : .

 

 est donc une seconde fois dérivable en 1 et on a : .

 

L’équation (E) est-elle vérifiée par  en 1 ?

 

On a d’une part (membre gauche de (E)) : .

 

On a d’autre part (membre droit de (E)) : .

 

La fonction  vérifie donc (E) en 1 si, et seulement si : , soit .

 

Finalement, la seule fonction solution de (E) définie sur  est :

 

 

 

 

Etude en 0.

 

Nous procédons de façon analogue à ce qui vient d’être fait en 1 en considérant une fonction f définie comme suit :

 

 

 

Est-il possible de prolonger f par continuité en 0 ?

 

Comme on a :  (car  ), il vient :  et .

 

La fonction f pourra alors être prolongée par continuité en 0 si, et seulement si : . On a alors :

 

 

 

Etudions maintenant la dérivabilité de f en 0.

 

A gauche de 0, on a :

 

 

 

D’où : .

De la même façon, on obtient : .

 

On en déduit donc que f est dérivable en 0 et que .

 

Etudions maintenant la dérivabilité seconde de f en 0.

 

A gauche de 0, on a :

 

 

 

Le seul terme posant problème lorsque x tend vers 0 est : .  n’admet donc une limite finie en 0 que si nous avons .

 

Dans ce cas, il vient : .

 

De même : .

 

On en tire donc que f est deux fois dérivable en 0 si, et seulement si : .

On a alors : .

 

Finalement, nous considérons les fonctions  de la forme :

 

 

 

A quelle condition une telle fonction vérifie-t-elle (E) ?

 

On a d’une part (membre gauche de (E)) : .

 

On a d’autre part (membre droit de (E)) : 0

 

En d’autres termes, quel que soit la valeur de , la fonction  vérifie (E) en 0.

 

Finalement, les fonctions solutions de (E) définies sur  sont :