Nous avons affaire à une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants et second membre non nul.

 

Le second membre étant une fonction définie sur l’ensemble , on va chercher des fonctions solutions de (E) sur un intervalle , k étant un entier relatif quelconque.

 

La résolution de l’équation sans second membre est classique et on fait appel à la méthode de Lagrange (variation des constantes) pour trouver une solution particulière de (E).

 

 

 

Solution générale de l’équation sans second membre

 

L’équation sans second membre (E’) s’écrit :

 

 (E’)

 

L’équation caractéristique associée à (E’) s’écrit :  et admet les deux racines complexes i et . On en déduit alors (voir le cours) que la solution générale de (E’) s’écrit :

 

 

 

où  et  sont deux constantes réelles quelconques.

 

 

Solution particulière de (E)

 

C’est là que se situe l’essentiel du travail de l’exercice puisque nous allons appliquer, en l’absence de toute solution particulière « évidente », la méthode de Lagrange.

 

Nous recherchons donc une solution particulière  sous la forme :

 

 

 

 et  sont ici deux fonctions inconnues à déterminer.

 

La dérivée première de  s’écrit : .

 

Classiquement, on impose alors une première condition sur les dérivées  et  :

 

 (1)

 

La dérivée de  se récrit alors : .

 

On en tire la dérivée seconde de  :  

 

 est alors solution de l’équation différentielle (E) si, et seulement si, pour tout x dans l’intervalle  on a :

 

 

Les relations (1) et (2) constituent un système d’équations linéaires d’inconnues  et  :

 

 

 

Le déterminant est simple : .

 

On en tire alors les expressions de  et  :

 

 

 

 

 

Une seule primitive nous suffit dans chaque cas.

 

On a immédiatement : .

 

Pour le calcul de , on peut effectuer le changement de variable , la forme différentielle  ne changeant pas de signe lorsque l’on remplace x par x. On a alors :  et :

 

 

 

On est ainsi ramené au calcul des primitives d’une fraction rationnelle. On commence par effectuer la division du numérateur par le dénominateur puis on décompose en éléments simples :

 

 

 

En revenant à la variable initiale et en ne retenant qu’une primitive, il vient :

 

 

 

On en déduit alors :

 

 

 

En utilisant alors les égalités classiques : , on peut transformer l’argument du logarithme comme suit :

 

 

 

 

Finalement :

 

 

 

La solution générale de l’équation (E) s’écrit donc :

 

 

 

où  et  sont deux constantes réelles quelconques.

 

Note : pour tout x appartenant à un intervalle , on a . La tangente est définie et ne s’annule pas : le logarithme est bien défini.