Résoudre l’équation différentielle :
Analyse
Il s’agit d’un équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants et second membre non nul (polynôme).
Nous recherchons des solutions définies sur .
Résolution
Résolution de l’équation sans second membre
Le polynôme caractéristique s’écrit : et se factorise simplement comme suit :
On en déduit immédiatement (voir le cours) que les fonctions solutions de l’équation (E) sont de la forme :
où A et B désignent deux constantes réelles quelconques.
Détermination d’une solution particulière de (E)
Le second membre de l’équation (E) étant un polynôme du
second degré, on recherche une solution particulière sous la forme d’un polynôme de degré 2
également (voir le cours).
Soit donc : .
On a : et
.
On a alors solution de (E) si, et seulement si :
Il vient donc :
Résultat final
Les solutions de l’équation différentielle (E) sont les fonctions définies par :
où A et B désignent deux constantes réelles quelconques.