Il s’agit d’un équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants et second membre non nul.

 

Nous recherchons des solutions définies sur , le second membre étant défini sur cet ensemble.

 

 

 

 

Résolution de l’équation sans second membre

 

Le polynôme caractéristique s’écrit :  et se factorise simplement comme suit :

 

 

 

On en déduit immédiatement (voir le cours) que les fonctions solutions de l’équation (E) sont de la forme :

 

 

 

où A et B désignent deux constantes réelles quelconques.

 

 

Détermination d’une solution particulière de (E)

 

Le second membre de l’équation (E) peut être récrit comme suit :

 

 

 

Les deux termes sont de la forme  où P est un polynôme et  un réel.

 

On va pouvoir appliquer le principe de superposition des solutions en cherchant en fait une solution particulière de chacune des équations différentielles suivantes :

 

 

 

 

Recherche d’une solution particulière de (E₁)

 

L’exponentielle du second membre étant solution de l’équation sans second membre, nous allons rechercher une solution particulière  de (E₁) sous la forme :  où Q est un polynôme de même degré que le polynôme facteur de l’exponentielle dans le second membre (voir cours). Ainsi,  et on cherche  sous la forme : .

 

On a alors :  et .

 

 est alors solution de (E₁) si, et seulement si :

 

 

 

Finalement, il vient :

 

 

 

 

Recherche d’une solution particulière de (E₂)

 

Contrairement au cas précédent, l’exponentielle du second membre de (E₂) n’est pas solution de l’équation sans second membre. On va donc chercher une solution particulière de (E₂) sous la forme  avec  puisque l’exponentielle est facteur d’un polynôme du premier degré. On cherche donc  sous la forme : .

 

On a alors :  et .

 

 est alors solution de (E₁) si, et seulement si :

 

 

 

Finalement, il vient :

 

 

 

 

La solution particulière  de (E) s’écrit donc finalement :

 

 

 

Les solutions de (E) s’écrivent finalement :

 

 

 

Note : A étant une constante réelle quelconque, on peut remplacer le terme 32A par C désignant aussi une constante réelle quelconque.