Nous avons affaire à une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants avec second membre non nul.

 

On résout d’abord l’équation sans second membre en déterminant les racines du polynôme caractéristique puis on cherche une solution particulière de (E) sous la forme d’un polynôme (voir cours).

 

 

 

 

Résolution de l’équation sans second membre (équation homogène)

 

Soit donc à résoudre :  (E’)

 

Le polynôme caractéristique associée à (E’) s’écrit : . Il admet donc une racine double : .On en déduit que la solution générale  de l’équation sans second membre (E’) s’écrit :

 

 

 

où  et  sont deux constantes réelles quelconques.

 

 

Détermination d’une solution particulière de (E)

 

Comme nous l’avons laissé entendre dans l’analyse, la forme du second membre nous conduit à chercher une solution particulière  sous la forme d’un polynôme de même degré que le second membre, à savoir 2 :

 

 

 

On a alors :

 

 et  

 

 est solution particulière de (E) si, et seulement si :

 

 

 

Il vient donc, finalement :

 

 

 

Solution générale de (E)

 

D’après ce qui précède, la solution générale  de l’équation (E) s’écrit :

 

 

 

 

Détermination de la solution vérifiant  

 

A partir de l’expression de , il vient : .

 

On a donc :

 

 

 

La solution vérifiant  s’écrit :