Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre non nul.

 

Nous recherchons à priori des solutions définies sur .

 

 

 

Résolution de l’équation sans second membre (équation homogène)

 

Elle s’écrit :  (E’)

 

Les variables peuvent être séparées pour  :  

 

On intègre membre à membre :

 

 

 

où C désigne une constante réelle quelconque.

 

Il vient alors, classiquement :

 

 

 

C désignant une constante réelle quelconque, K appartient à . On ajoute la valeur 0 qui donne la fonction nulle comme solution évidente.

 

Finalement :

 

 

 

où K désigne une constante réelle quelconque.

 

Détermination d’une solution particulière de (E)

 

Pour déterminer une solution particulière  de (E), nous allons appliquer la méthode de variation de la constante au résultat précédemment obtenu.

 

On cherche donc  sous la forme :  où K est cette fois une fonction inconnue à déterminer.

 

Dans ces conditions, on a :  

 

 est donc solution de (E) si, et seulement si :

 

 

 

 

On doit donc finalement déterminer une primitive de : .

 

On a, en faisant apparaître « naturellement » la variable  :

 

 

 

Les fonctions sous le signe somme sont dérivables et de dérivées continues. Nous pouvons procéder à une intégration par parties en posant :

 

• 
  
   qui donne
  
   ;
• 
  
   dont une primitive est
  
  .

 

Il vient alors :

 

 

 

Nous n’avons pas fait apparaître la constante d’intégration puisqu’une seule primitive nous suffit.

 

On a alors, en revenant à la variable d’origine :

 

 

 

D’où, finalement :

 

 

 

 

La solution générale de l’équation différentielle (E) s’écrit finalement :

 

 

 

où K désigne une constante réelle quelconque.

 

Ces solutions sont définies sur .