Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre non nul.

 

La condition  apparaissant dans la première question permet de séparer les variables pour résoudre l’équation homogène associée à (E). On va ainsi obtenir des solutions définies sur l’un quelconque des intervalles , ,  et .

L’objectif des deux autres questions est d’étudier l’existence éventuelle de solutions définies sur des intervalles plus grands.

 

 

 

 

Résolution de l’équation sans second membre (équation homogène)

 

Elle s’écrit :  (E’)

 

Les variables peuvent être séparées pour  : .

Pour pouvoir procéder à une intégration membre à membre, il convient, dans un premier temps, de décomposer la fraction rationnelle :  en éléments simples.

 

Les pôles de F sont : , 0 et 1 et ce sont des pôles simples. Elle est irréductible puisque le degré de son numérateur est strictement inférieur à celui de son dénominateur. Sa décomposition en éléments simples s’écrit donc :

 

 

 

En remarquant que la fonction  est impaire, on a :

 

 

 

On a donc :

 

 

 

On a : .

Posons alors : .

Pour , on a : .

D’où : .

 

Par ailleurs : .

Posons alors : .

Pour , il vient : .

D’où : .

 

Finalement :

 

 

 

L’équation homogène se récrit alors :

 

 

 

L’intégration membre à membre donne alors :

 

 

 

Finalement, la solution générale de l’équation homogène s’écrit :

 

 

 

où K est une constante réelle quelconque. On rappelle que cette solution est définie sur l’un quelconque des intervalles : , ,  et .

 

 

Détermination d’une solution particulière de (E)

 

Pour déterminer une solution particulière  de (E), nous allons appliquer la méthode de variation de la constante au résultat précédemment obtenu.

 

On cherche donc  sous la forme :  où K est cette fois une fonction inconnue à déterminer.

 

Dans ces conditions, on a directement : .

 

(Les termes en «  » s’annulent classiquement par cette méthode)

 

On a donc : .

 

Nous sommes libre de choisir une primitive quelconque. Mais comme cette primitive va être divisée par , on a tout intérêt ici à retenir :

 

 

 

Il vient alors : .

 

 

La solution générale de l’équation différentielle (E) s’écrit finalement :

 

 

 

où K désigne une constante réelle quelconque. Ces solutions sont définies sur l’un quelconque des intervalles : , ,  et .

 

 

Etude sur l’intervalle :  

 

Cette étude consiste en fait à étudier l’existence de solutions de l’équation (E) définies en 0.

 

On va donc considérer une fonction f définie comme suit :

 

 

 

A gauche de 0 on a : .

 

Or, on a simplement : .

 

On en tire donc : .

 

De façon analogue, on a : .

Une condition nécessaire pour pouvoir prolonger f par continuité en 0 est donc de choisir :

 

 

 

On considère alors la fonction  définie sur  par :

 

 

 

Comme : , on peut prolonger  par continuité en 0.

 

On travaille donc désormais avec la fonction  définie sur  par :

 

 

 

Sur ,  est dérivable comme fraction rationnelle et on a :

 

 

 

En particulier, on a : .

 

Cette fonction vérifie bien sûr (E) sur les intervalles  et . Il reste à étudier si l’équation (E) est vérifiée pour .

 

Pour , le membre de gauche de (E) vaut :

 

 

 

L’équation (E) est bien vérifiée pour .

 

 

 

Etude sur les intervalles :

 et  

 

Les études étant similaires, nous détaillons l’étude sur .

 

Nous considérons, de façon analogue à ce qui a été fait précédemment, une fonction f définie sur  par :

 

 

 

Comme , on a :

 

• Si
  
  ,
  
   ;
• Si
  
  ,
  
  .

 

De façon analogue, f admet une limite finie à droite de 1 si, et seulement si, .

 

En conclusion, on peut prolonger f par continuité en 1 si, et seulement si, on a :

 

 

 

La fonction obtenue, que nous noterons , définie sur , s’écrit :

 

 

 

Elle est dérivable sur cet intervalle comme fraction rationnelle et on a :

 

 

 

En particulier : .

 

Cette fonction vérifie bien sûr (E) sur les intervalles  et . Il reste à étudier si l’équation (E) est vérifiée pour .

 

 

Pour , le membre de gauche de (E) vaut :

 

 

 

L’équation (E) est bien vérifiée pour .

 

 

De façon analogue, on montrerait que sur , l’équation (E) admet comme unique solution la fonction .

 

 

 

 

 L’équation différentielle (E) n’admet pas de solution définie sur  puisque les solutions définies sur , d’une part, et sur , d’autre part, ne sont pas raccordables.