Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du second ordre avec second membre nul.

 

Nous recherchons à priori des solutions définies sur .

 

 

 

 

Recherche d’une solution polynomiale

 

Soit f une fonction polynôme de degré  de sorte que sa dérivée seconde soit non nulle. Soit alors  le coefficient de  dans l’expression de .

 

Alors  est une fonction polynôme de degré . Dans l’expression de  le coefficient de  est .

On en tire que  est une fonction polynôme de degré n et que le coefficient de  dans l’expression de  est aussi .

 

Finalement, le coefficient de  dans l’expression de  est :

 

 

Comme  doit être le polynôme nul, la seule possibilité envisageable est d’avoir . On va donc chercher  sous la forme : .

 

On a alors :  et f solution de (E) si, et seulement si :

 

 

 

Aucune « contrainte » n’apparaît sur le coefficient a. L’équation étant linéaire, les solutions sont définies à une constante multiplicative près ! Ainsi, tout polynôme de la forme  est solution de (E).

 

Nous retenons donc, comme première solution de l’équation (E) :

 

 

 

 

Obtention d’une deuxième solution de (E)

 

On cherche une deuxième solution  de (E) linéairement indépendante de  sous la forme :

 

 

 

On a alors :

 

 

 

D’où :  solution de (E) si, et seulement si :

 

 

 

Posons alors : . L’équation que nous venons d’obtenir se récrit :

 

 

 

Pour , nous pouvons séparer les variables et on obtient :

 

 

 

L’intégration membre à membre est immédiate et nous ne faisons pas apparaître de constante d’intégration puisqu’une seule primitive nous suffit :

 

 

On choisit, part exemple :

 

 

 

Comme nous avions posé , il nous faut maintenant déterminer une primitive de la fonction précédemment obtenue.

 

Le calcul peut se mener de diverses façons. Nous proposons ici de récrire la fraction rationnelle comme suit :

 

 

 

On a alors :

 

 

 

Pour le nouveau calcul, nous pouvons effectuer une intégration par parties en posant :

 

• 
  
   qui donne
  
   ;
• 
  
   dont une primitive est :
  
  .

 

Il vient alors :

 

 

 

Ici encore, nous ne faisons pas apparaître la constante d’intégration puisqu’une seule primitive nous suffit.

 

On a alors :

 

 

 

En multipliant alors par , nous obtenons  :

 

 

 

Les solutions étant définies à une constante multiplicative près, nous pouvons multiplier la fonction obtenue par 2 et retenir :

 

 

 

 

Solution générale de l’équation (E)

 

La solution générale  de l’équation différentielle (E) est une combinaison linéaire des fonctions  et  obtenues précédemment :

 

 

où A et B sont deux constantes réelles quelconques.