Nous avons affaire à un système différentiel dont les équations sont à coefficients constants. Après récriture sous la forme matricielle , on a sans peine l’expression de .

 

 

 

On note :  et .

L’écriture matricielle du système est alors :

 

 

 

Résolution de l’équation homogène

 

Le polynôme caractéristique de la matrice A s’écrit :

 

 

 

2 est racine double et le polynôme  n’annule pas A : la matrice A n’est pas diagonalisable.

 

Pour résoudre  on peut remarquer que l’on a :

 

 

 

Avec : .

 

On note alors que l’on a : . On va pouvoir calculer facilement la matrice  (toutes les puissances  de la matrice B sont nulles à partir de  ) :

 

 

 

On a immédiatement :

 

 et  

 

D’où :

 

 

 

On obtient ainsi comme système fondamental de solutions de  la famille :

 

 

 

 

Sans faire la remarque ci-dessus, on pouvait procéder comme suit.

 

On commence par chercher l’espace propre associé à la valeur propre 2 de la matrice A.

 

On doit donc résoudre le système :

 

 

 

On obtient immédiatement : .

L’espace propre associé à la valeur propre 2 est donc la droite vectorielle engendrée par le vecteur . On peut alors considérer la nouvelle base :  et introduire les nouvelles variables Y et Z définies par (changement de base classique) :

 

 

 

L’équation  se récrit alors :

 

 

 

En soustrayant les égalités membres à membres, il vient : . Le système équivaut donc à :

 

 

 

Posons :

 

 

 

On a facilement :  avec .

Or : . On a donc :

 

 

 

On obtient alors comme système fondamental de solutions :

 

 

 

Pour obtenir un système fondamental de solution du système , il suffit alors de revenir aux variables initiales en utilisant à nouveau .

 donne  et  donne :  

 

Soit :

 

 

 

On note que ce système est un peu plus simple que le précédent. On l’obtient facilement à partir de  en conservant le premier vecteur et en additionnant les deux vecteurs.

 

 

Recherche d’une solution particulière

 

Notons  une telle solution. On la cherche sous la forme :

 

 

 

 est solution du système différentiel si, et seulement si :

 

 

 

D’où :

 

                (S’)

 

La deuxième égalité du système (S’) donne immédiatement :

 

 

 

En soustrayant alors la seconde égalité à la première on obtient : .

 

Soit :

 

 

 

Par substitution dans , il vient alors :

 

 

 

Soit :

 

 

 

Pour obtenir , on peut écrire : .

 

On cherche alors une fonction complexe  de la variable réelle dont la dérivée s’écrit :

 

 

 

On cherche  sous la forme :  où A et B sont deux constantes complexes.

 

A partir de cette expression, on obtient facilement :

 

 

 

Par identification :

 

 

 

Il vient alors :

 

 

et :

 

 

Finalement :

 

 

 

En considérant la partie imaginaire de l’expression finalement obtenue, il vient :

 

 

 

 

On avait, par ailleurs : . Or : . Donc :

 

 

 

En procédant comme précédemment, on obtient :

 

 

 

Remarque : on peut effectuer moins de calculs en cherchant simplement une fonction  telle que .

 

La solution particulière s’écrit alors :

 

 

 

 

Finalement, la solution générale du système différentiel s’écrit :

 

 

 

Remarque : on peut fournir une expression un peu plus simple en posant :  et . Il vient alors : . D’où :