On considère l’équation
différentielle (E) : et on cherche l’ensemble des solutions de
cette équation définies sur
.
1. Démontrer que
la fonction u définie sur par
est solution de (E) ;
2. Démontrer
qu’une fonction v définie sur est solution de (E) si, et seulement si, la
fonction
,
définie sur
,
est solution de l’équation différentielle
;
3. En déduire
toutes les solutions sur de l’équation (E).
(D’après La Réunion 2003
Série S)
Analyse
Une structure d’exercice classique. Dans un premier temps,
on valide qu’une certaine fonction est solution de l’équation différentielle
proposée. Dans un second temps, on se ramène (il s’agit pratiquement d’une
question de cours) à la résolution d’une équation différentielle de la forme
classique : .
On peut alors obtenir l’ensemble des solutions de l’équation initiale.
Résolution
1. Considérons donc la fonction u définie sur par
.
Cette fonction est dérivable sur
comme produit (
) de deux fonctions (la fonction exponentielle
et la fonction inverse) dérivables sur cet intervalle. On a alors :
On en tire immédiatement :
Conclusion :
La
fonction u définie sur par
est solution de l’équation différentielle (E)
2. On considère ici une fonction v solution de (E).
On a donc : .
On a donc, en raisonnant pour tout x réel :
La dernière égalité équivaut à
écrire que la fonction est solution de l’équation
différentielle :
.
Finalement :
La
fonction v définie sur l’intervalle est solution de (E)
si,
et seulement si, la fonction est solution sur ce même intervalle
de
l’équation différentielle .
3. L’équation différentielle peut être récrite :
.
Elle admet donc comme solutions les fonctions de la forme :
où C est une constante réelle.
On a alors, en tenant compte du résultat de la question 2. :
v
solution de (E)
solution de
On en déduit finalement :
Les solutions de
l’équation différentielle (E) sont les fonctions définies sur par :
Où C est une constante réelle.
Résultat final
Les
solutions définies sur de l’équation différentielle
s’écrivent :
Où C est une constante réelle.