On se propose de résoudre
sur l’équation différentielle (E) :
1. Trouver une fonction polynôme h solution de (E) ;
2. On pose :
.
Montrer que y est solution de (E) si, et seulement si, z est
solution de l’équation différentielle :
.
Résoudre cette dernière équation différentielle et en déduire les solutions de
(E) ;
3. Démontrer qu’il existe une et une seule solution g de (E) qui s’annule en 0.
Analyse
Une structure d’exercice classique. Dans un premier temps,
on valide qu’une certaine fonction est solution de l’équation différentielle
proposée (la question est ouverte : on doit trouver une fonction polynôme
certes, mais les choses sont plus simples si on en connaît le degré …). Dans un
second temps, on se ramène (il s’agit pratiquement d’une question de cours) à
la résolution d’une équation différentielle de la forme classique : .
On peut alors obtenir l’ensemble des solutions de l’équation initiale.
Résolution
1. Supposons que l’équation différentielle (E) admette une fonction
polynôme notée h comme solution. Il ne peut s’agir d’une fonction
constante puisqu’alors la quantité serait également constante. On va donc noter n
le degré de la fonction polynôme cherchée avec
.
Dans ces conditions, la fonction
dérivée est également une fonction polynôme mais de
degré
.
Ainsi, la fonction
est encore une fonction polynôme de degré n.
Comme le membre de droite de l’équation différentielle (E) est une fonction polynôme de degré 3, nous allons donc chercher une fonction h de degré 3 également.
Pour tout x réel,
posons : .
Il vient alors : .
Et enfin :
La fonction h est alors solution de (E) si, et seulement si, pour tout x réel on a :
On obtient alors (par identification), le système suivant :
On a alors :
La fonction h est donc la fonction polynôme définie par :
2. On considère ici une fonction y solution de (E).
On a donc : .
On a donc, en raisonnant pour tout x réel :
La dernière égalité équivaut à
écrire que la fonction z est solution de l’équation
différentielle : .
Finalement :
La
fonction y définie sur est solution de (E)
si,
et seulement si, la fonction est solution sur ce même intervalle
de
l’équation différentielle .
L’équation différentielle peut être récrite
.
Elle admet donc comme solutions les fonctions de la forme :
où C est une constante réelle.
On a alors, en tenant compte du résultat de la question 2. :
y
solution de (E)
solution de
On en déduit finalement :
Les solutions de
l’équation différentielle (E) sont les fonctions définies sur par :
Où C est une constante réelle.
3. On cherche les solutions de (E) s’annulant en 0. Soit g une telle solution.
En tant que solution de (E), la fonction g est, d’après la question précédente, de la forme :
La fonction g s’annulant
en 0, on cherche C tel que : .
Soit : .
Finalement, on obtient :
.
Il existe une unique solution de (E) s’annulant en 0. Il s’agit de la fonction g définie par :
Résultat final
Les
solutions définies sur de l’équation différentielle
sont les fonctions définies par :
où C est une constante réelle.
La solution de (E) s’annulant en 0 est la fonction g définie par :