On se propose de résoudre
sur l’équation différentielle (E) :
1. Montrer que la
fonction h définie sur par :
est solution de l’équation différentielle
(E) ;
2. On pose :
.
Montrer que y est solution de (E) si, et seulement si, z est
solution de l’équation différentielle :
.
Résoudre cette dernière équation différentielle et en déduire les solutions de
(E) ;
3. Démontrer
qu’il existe une et une seule solution g de (E) qui s’annule en .
Analyse
Une structure d’exercice classique. Dans un premier temps,
on valide qu’une certaine fonction est solution de l’équation différentielle
proposée. Dans un second temps, on se ramène (il s’agit pratiquement d’une
question de cours) à la résolution d’une équation différentielle de la forme
classique : .
On peut alors obtenir l’ensemble des solutions de l’équation initiale.
Résolution
1. Considérons donc la fonction h définie sur par
.
La fonction est dérivable sur
comme composée de deux fonctions (la fonction linéaire
et la fonction exponentielle) dérivables
.
La fonction sinus est dérivable
sur (fonction de référence).
Ainsi, la fonction h est
dérivable sur comme produit de deux fonctions dérivables sur
.
On a alors :
On en tire immédiatement :
Conclusion :
La
fonction h définie sur par
est solution de l’équation différentielle (E).
2. On considère ici une fonction y solution de (E).
On a donc : .
On a donc, en raisonnant pour tout x réel :
La dernière égalité équivaut à
écrire que la fonction z est solution de l’équation
différentielle : .
Finalement :
La
fonction y définie sur est solution de (E)
si,
et seulement si, la fonction est solution sur ce même intervalle
de
l’équation différentielle .
L’équation différentielle peut être récrite
.
Elle admet donc comme solutions les fonctions de la forme :
où C est une constante réelle.
On a alors, en tenant compte du résultat de la question 2. :
y
solution de (E)
solution de
On en déduit finalement :
Les solutions de
l’équation différentielle (E) sont les fonctions définies sur par :
où C est une constante réelle.
3. On cherche les solutions de (E) s’annulant en 0. Soit g une telle solution.
En tant que solution de (E), la fonction g est, d’après la question précédente, de la forme :
La fonction g s’annulant
en ,
on cherche C tel que :
Finalement, on obtient : .
Il existe une unique solution de (E) s’annulant en 0. Il s’agit de la fonction g définie par :
Résultat final
Les
solutions définies sur de l’équation différentielle
sont les fonctions définies par :
où C est une constante réelle.
La
solution de (E) s’annulant en est la fonction g définie par :