Les solutions d’une équation différentielle homogène comme vecteurs propres associés à un endomorphisme (plus précisément son carré). Voilà une situation très intéressante qui permet de s’affranchir de calculs souvent pénibles …

 

 

 

 

Question 1.

 

Soit  une valeur propre de  et soit f un vecteur propre associé.

 

On a :

 

 

On s’intéresse donc à l’équation différentielle :

 

 

Elle est de la forme :  et ses solutions s’écrivent :  où A est une primitive de l’application a et k une constante complexe quelconque.

On a facilement : .

Finalement : .

 

On en conclut finalement que tout complexe λ est valeur propre de  de vecteur propre associé l’application : .

 

 

 

Question 2.

 

Rappelons d’abord le résultat général : si λ est une valeur propre d’un endomorphisme  de vecteur propre associé  alors  est valeur propre de l’endomorphisme  de vecteur propre associé  (  ).

 

Soit alors λ un complexe non nul. Il admet exactement deux racines carrées distinctes α et β (  ).

Les complexes α et β étant valeurs propres de , on en déduit que λ est valeur propre de  et que les applications  et  sont deux vecteurs propres pour  associés à la valeur propre λ.

Or, ces deux applications sont linéairement indépendantes.

D’où :  est inclus dans le sous-espace propre de  associé à la valeur propre λ.

 

Soit maintenant f un élément de E.

On a :  avec : .

D’où :  avec pour tout t réel :

 

 

Ainsi, l’application f sera vecteur propre de  associé à la valeur propre λ si, et seulement si, elle vérifie : , ce qui équivaut à :

L’application f est solution de l’équation différentielle

 

 

Il s’agit d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 2 et son ensemble de solution est un espace vectoriel de dimension 2.

 

Or, cet ensemble n’est rien d’autre que le sousespace propre de  associé à la valeur propre λ et on avait vu qu’il contenait , lui-même de dimension 2. En définitive,  est le sousespace propre de  associé à la valeur propre λ.

 

Il convient maintenant de traiter le cas : .

 

Le sous-espace propre associé n’est rien d’autre que :

 

 

D’après la question 1, le sous-espace propre associé à la valeur propre  pour  n’est rien d’autre que :  où . Cette valeur propre et ce vecteur propre associé sont également des éléments propres de  (on pourra vérifier que l’application  est bien solution de l’équation différentielle  ).

 

Pour trouver une deuxième solution, h, indépendante de , nous posons : .

On a donc : .

D’où, pour tout t réel :

 

Et :

 

 

On a alors :

h solution de  

 

 

Puisque nous cherchons une seule fonction g, il suffit de considérer la fonction g définie par : .

Il vient alors ; .

 

Finalement :

 

 

 

 

Question 3.

 

L’équation différentielle  est de la forme  avec . L’ensemble des solutions de cette équation différentielle est donc le sous-espace propre  de  associé à la valeur propre . Or,  admet pour racines carrées dans  :  et . On a donc (question 2.) : .

Or, on a :  et .

 

Il vient alors :

f est solution de  

 

 

Ainsi, l’ensemble des solutions de l’équation différentielle  est le sous-espace vectoriel de  engendré par les applications  et .