On peut facilement exprimer la distance d’un point à une droite. On exploite alors le fait que tout point d’une bissectrice de deux droites est équidistant de ces deux droites.

 

 

 

Soit  un point quelconque du plan. Notons  et  les distances respectives de M aux droites D₁ et D₂.

 

Le repère considéré étant orthonormé, on a immédiatement, à partir des équations fournies :

 

 et  

 

Dire que le point M appartient à l’une des bissectrices des droites D₁ et D₂ équivaut à écrire :

 

 

 

Soit :

 

 

 

Les quantités considérées étant positives, leur égalité équivaut à celle de leurs carrés :

 

 

 

On a alors :

 

 

 

Cette dernière égalité équivaut alors à :

 

 ou  

 

Ce sont des équations des bissectrices des droites D₁ et D₂.

 

Remarque : à titre de vérification partielle, on note que les coefficients de « x » et « y » dans ces deux équations vérifient : . Les droites obtenues sont bien perpendiculaires.