On peut démontrer le résultat de diverses façons.

Il est cependant important de traduire le fait que .

 

 

 

Si on considère l’ensemble quotient , l’hypothèse  signifie que  comporte deux éléments :

 

• La classe d’équivalence  ;
• Une seconde classe d’équivalence correspondant au complémentaire de H dans G (puisque les classes d’équivalence, éléments de , forment une partition de G) qui peut-être écrite :  avec  (sans quoi, on a  ).

 

Dans ce qui suit, on utilise bien sûr le fait que tout élément de G appartient à l’une ou l’autre de ces deux classes d’équivalence.

 

 

1^ère méthode

 

Pour montrer que H est invariant, on va classiquement considérer  pour tout x appartenant à H et tout a appartenant à G.

 

• 1^er cas : .

On a alors  (car H est un sous-groupe de G) et .

D’où, finalement : .

 

• 2^ème cas : .

On a donc  et il existe un élément y de H tel que : .

Il vient alors :

 

Peut-on avoir  ?

 

 

 

On a :

 

 

Mais x, y et z étant des éléments de H, on a : .

Ceci est absurde puisque .

Il vient donc : , soit : .

 

 

2^ème méthode

 

On considère l’application  définie par :

 

 

 est un groupe multiplicatif et nous allons montrer que  est un homomorphisme de groupe.

 

On considère deux éléments quelconques, x et y, de G et on va calculer  en fonction de  et . On doit distinguer quatre cas suivant que x et y appartiennent ou non à H :

 

• 1^er cas :  et .

On a alors, par définition de  : .

Par ailleurs, on a :  et

On a bien :

 

• 2^ème cas :  et

On a, par définition de  :  et

Par ailleurs : .

 et  entraîne que ces deux éléments appartiennent à la même classe d’équivalence. On a donc : , soit . D’où .

On a encore :

 

• 3^ème cas :  et

On a, par définition de  : ,  et .

Peut-on avoir  ?

On a :

 

La dernière implication résultant du fait que .

Puisque l’on aboutit à une contradiction, on a nécessairement .

D’où :  et on a bien : .

 

• 4^ème cas :  et

Il est équivalent au cas précédent et se traite de la même façon.

 

Finalement : .  est donc un homomorphisme de groupe.

 

Son noyau, dont on sait que c’est un sous-groupe distingué de G, est : .

 

En conclusion : H est distingué.

 

 

3^ème méthode

 

C’est très probablement la plus « efficace » : on considère les deux relations d’équivalence :

•  dont les classes d’équivalence sont H (qui est la classe de l’élément neutre) et  :  ;
•  dont les classes d’équivalence sont … H (ici encore classe de l’élément neutre) et  :  ;

 

On a alors :  H distingué.