On commence par établir l’existence d’un élément neutre (il est alors unique et il s’agira donc de l’élément neutre de  ). Puis on établit celle d’un symétrique pour tout élément de G.

Dans les démonstrations correspondantes, l’associativité de la loi * est déterminante.

 

 

 

L’ensemble G étant non vide, il contient au moins un élément a.

 

D’après la deuxième propriété vérifiée par la loi *, il existe deux éléments  et  de G tels que :

 

Nous allons montrer que les éléments  et  sont respectivement des éléments neutres à gauche et à droite pour .

 

Soit donc un élément b quelconque de G.

Toujours d’après la deuxième hypothèse sur la loi *, il existe deux éléments x et y de G tels que :

On a alors :

 

Et :

 

On a donc : .

Conclusion : les éléments  et  sont respectivement des éléments neutres à gauche et à droite pour .

 

Démontrons maintenant que l’on a : .

 

L’élément  étant neutre à gauche pour G, on a : .

L’élément  étant neutre à droite pour G, on a : .

Des deux égalités précédentes, on tire immédiatement : .

 

Posons maintenant : .

 

D’après les résultats précédents, e est élément neutre pour G (et, classiquement, il est unique).

 

 

Démontrons enfin que tout élément de G possède un symétrique pour *.

 

Soit b un élément quelconque de G. D’après la deuxième hypothèse sur la loi *, il existe deux éléments x et y de G tels que :

 

On a alors :

 

 

On a donc . L’élément x est donc inverse de b pour * et, classiquement, il est unique. Il s’agit donc de l’inverse de x dans G pour *.

 

Finalement : tout élément de G admet un inverse pour *.

 

 

Conclusion générale :