On établit les deux implications. On doit prendre garde de ne pas interpréter trop hâtivement l’égalité .

 

 

 

Supposons, dans un premier temps, que  soit un sous-groupe de G. Nous souhaitons établir l’égalité : .

 

Considérons un élément x de .

 

 étant un sous-groupe de G, x admet un inverse  dans . On a alors, par définition de  :  avec  et .

On en tire : .

 étant un sous-groupe de G, . De façon analogue,  étant un sous-groupe de G, . Finalement : , c'est-à-dire : .

 

On a ainsi démontré que tout élément x de  était un élément de . Soit :

 

 

 

 

Considérons maintenant un élément x de . On a :  et donc : . On en déduit : . Or, nous venons d’établir l’inclusion : . On peut donc écrire : .

Il vient alors : .

 étant un sous-groupe de G, . De façon analogue,  étant un sous-groupe de G, . Finalement : , c'est-à-dire : .

 

On a ainsi démontré que tout élément x de  était un élément de . Soit :

 

 

 

Des deux inclusions établies ci-dessus on tire l’égalité cherchée :

 

 

 

 

Supposons maintenant que l’on ait l’égalité : . Nous souhaitons démontrer que  est un sous-groupe de G.

 

L’ensemble  est non vide. En effet,  et  étant deux sous-groupes de G, ils contiennent son élément neutre e. Ainsi,  contient .

 

Soit maintenant x et y deux éléments de . On peut écrire :  et .

Il vient alors :

 

 

 est un élément de . Or on a l’égalité . On peut donc écrire : . On en tire alors (on a volontairement insisté sur l’importance de l’associativité de la loi …) :

 

 

 est également un élément de . On peut donc écrire : . Alors :

 

 

 

 et  sont des éléments de  et  respectivement. On en déduit : .

 

De ce qui précède, on tire :

 

 

 

La deuxième implication est ainsi établie.