Démontrer que les groupes et
ne sont pas isomorphes (considérer
).
Analyse
On raisonne par l’absurde. Le fait que soit irrationnel permet alors de conclure.
Résolution
Soit un isomorphisme de
dans
.
Pour tout de
,
on a :
.
En particulier, pour ,
on obtient :
,
soit encore :
(on a l’équivalence :
,
cette récriture est donc licite.).
Puisque est bijective, il existe donc un rationnel a
tel que :
.
Mais d’après ce qui précède, on a alors :
.
Comme
,
on en tire alors :
,
ce qui est absurde puisque
est irrationnel.
Résultat final
Les
groupes et
ne sont pas isomorphes.