L’addition au départ, la multiplication à l’arrivée (enfin … cet ordre est arbitraire !) … On se doit de penser à une fonction fondamentale qui fait le lien entre ces deux opérations.

 

 

 

On considère la fonction exponentielle exp définie sur  et à valeurs dans .

 

Pour tout couple de réels, on a :

 

 

 

Il s’agit donc d’un morphisme du groupe  dans le groupe .

 

La fonction exponentielle définit par ailleurs une bijection de  dans .

 

En définitive, la fonction exponentielle est un isomorphisme du groupe  dans le groupe . D’où le résultat.

 

Remarque : on aurait pu raisonner de façon « symétrique » avec la fonction logarithme népérien qui est, elle, un isomorphisme de  dans .