Soit E un ensemble et * une loi de composition interne définie sur E.
On suppose que * est associative.
Par ailleurs, on suppose qu’il existe un élément a de E tel que l’application :
soit surjective.
Montrer que la loi * admet un élément neutre et que l’élément a de E admet un symétrique.
Analyse
Nous ne disposons pas, à priori, de grand-chose … Un élément de E est « privilégié » (l’élément a bien sûr) et le fait de disposer d’une application surjective de E dans E permet de considérer son antécédent …
Résolution
Puisque l’application est surjective (nous la notons désormais
), l’élément a de E admet un
antécédent. Notons-le
.
On a donc :
.
La loi * étant associative, on peut écrire :
Cette égalité nous suggère (ce n’est qu’une suggestion …)
que pourrait être neutre à droite et
neutre à gauche. Voyons de quoi il en
retourne.
Soit y un élément quelconque de E et soit x
son antécédent par :
.
On a :
L’élément est bien neutre à droite.
On a également :
L’élément est bien neutre à gauche.
On en déduit alors que les éléments et
sont tous deux égaux et neutres pour *. Nous
notons désormais cet élément e :
Cette double égalité équivaut à écrire que l’élément a de E
admet l’élément comme symétrique :