Analyse
Les deux premières questions conduisent à munir un
sous-ensemble de 
(en l’occurrence l’ensemble H,
correspondant, géométriquement, à une hyperbole) d’une structure de groupe. On
peut ainsi parler du « groupe de l’hyperbole ». La troisième question
aborde le paramétrage classique de l’hyperbole à l’aide des fonctions
fondamentales de la trigonométrie hyperbolique.
Résolution
Question 1.
La loi est clairement une loi de composition interne.
Considérons alors trois éléments ,
et quelconques de .
On a :
Et :
On constate (avec méthode !) que les deux couples
obtenus sont égaux.
La loi est associative sur et donc, à fortiori, sur G.
On a également pour tous couples et de :
La loi est donc commutative sur et donc, à fortiori, sur G.
On a aussi, pour tout couple de :
On en conclut que est neutre à droite puis, la loi étant commutative, qu’il s’agit de l’élément
neutre.
La définition de la loi peut conduire assez
« naturellement » à valider que est son élément neutre. A défaut, on peut
chercher un couple tel que :
On aboutit à : .
Soit : .
La seule solution est le couple .
Etudions pour finir l’inversibilité de l’élément de .
La loi étant commutative, il suffit de chercher un
couple tel que :
On a :
Le déterminant associé s’écrit : .
S’il est nul, c'est-à-dire si ou ,
le système n’admet pas de solution … Les couples correspondants sont les
couples de A.
Ainsi, admet un inverse si, et seulement si, .
L’inverse s’obtient alors en résolvant le système
ci-dessus et il vient :
En résumé :
est un groupe abélien.
Question 2.
On considère .
On a immédiatement : qui, de fait, n’est pas vide …
D’après la question précédente, l’inverse d’un élément de H s’écrit : .
Pour tous couples et de ,
on a alors :
On calcule alors :
On a donc : .
Finalement :
En définitive :
Question 3.
Considérons l’application :
Comme : ,
l’application est bien à valeur dans H.
Dans un premier temps, montrons que est un morphisme de dans .
On a :
En tenant compte de :
il vient :
En définitive :
Déterminons maintenant .
On a :
Le noyau de ne contenant que l’élément neutre de ,
on en conclut :
est injective.
Soit maintenant un élément de H. On cherche t
dans tel que .
On a :
Comme la fonction sinus hyperbolique est bijective de dans ,
l’équation admet une unique solution que nous notons .
Comme, et on a alors :
On en déduit que le système est vérifié si, et seulement si,
,
c'est-à-dire .
Comme, de surcroît, pour tout t réel : ,
on en déduit que l’image de ,
,
est la partie de H correspondant à :
.
Géométriquement, il s’agit de la branche de l’hyperbole
d’équation correspondant aux abscisses positives (plus
précisément supérieures à 1).