On considère une urne contenant 7 boules indiscernables numérotées de 1 à 7 et l’expérience aléatoire consistant à en tirer simultanément 3.

 

1.           Soit k un entier vérifiant . Combien y a-t-il de tirages de 3 boules dont le plus grand numéro est k ?

2.           En déduire une expression de  sous forme d’un unique coefficient binomial ;

3.           Généraliser en considérant une urne contenant n boules indiscernables numérotées de 1 à n.

 

 

 

Analyse

 

La première question est un problème simple de combinaisons.

La deuxième question permet d’écrire un même nombre de deux façons différentes, chacune correspondant à une interprétation différente de ce nombre.

A la dernière question, on généralise aisément le résultat.

 

 

Résolution

 

Question 1.

 

Pour obtenir un tel tirage, il suffit de déterminer le nombre de façons de choisir 2 boules parmi les boules numérotées de 1 à  puisque :

  1. la troisième boule est parfaitement définie (elle porte le numéro k) ;
  2. les deux autres boules doivent porter un numéro strictement inférieur à k, c’est à dire un numéro inférieur ou égal à
    .

 

Le nombre cherché est donc le nombre de combinaisons de 2 éléments parmi , soit .

 

 

Question 2.

 

La réponse à cette question est presque immédiate dès lors que l’on remarque que tout tirage de 3 boules dans l’urne est du type de la question précédente !

En effet, tout tirage comporte une boule portant le plus grand des trois numéros, ce plus grand numéro valant au moins 3. De fait, en faisant varier k (le plus grand des trois numéros) de 3 à 7 (sa valeur maximale) et en additionnant les , on obtient « simplement » le nombre total de tirages de 3 boules parmi les 7, c’est à dire :  …

 

On a donc :

 

 

 

 

Question 3.

 

En raisonnant comme dans les deux questions précédentes mais cette fois-ci à partir d’une urne contenant n boules (  ), on obtient les résultats suivants :

 

  1. Il y a encore
     tirages possibles de 3 boules tels que le numéro le plus élevé soit k (ce résultat est clairement indépendant du nombre total de boules présentes dans l’urne !) ;
  2. On a :

 

 

En développant cette formule, on obtient :  

Soit :  

Soit encore, en renommant les indices de la somme :  

 

On peut encore continuer et on obtient finalement :

 

 

 

Deux remarques pour finir :

 

  1. on peut aisément établir la validité de la dernière formule grâce à une récurrence simple ;
  2. En tenant compte de
    , la dernière formule obtenue nous permet d’écrire :

 

Soit :

 

On retrouve ainsi la formule classique donnant la somme des carrés des n premiers entiers naturels :