L’exercice permet de lier les notions de loi de composition et de dénombrement.

Le raisonnement principal se fait sur les choix possibles de , x et y étant deux éléments de E et * la loi de composition interne.

 

 

 

Question 1.

 

Une loi de composition interne sur un ensemble E est une application de  dans E.

Ces applications sont au nombre de : .

Or, on a : . On en déduit donc :

 

 

 

Question 2.

 

La loi de composition interne * définie sur E est commutative si, et seulement si, on a :

 

 

Ainsi, si l’on reprend la démarche de la question 1., dès que l’image du couple  est définie, celle du couple  l’est également.

Pour définir complètement une loi de composition interne commutative sur E, il nous suffit donc de définir les images des couples  avec . Ces couples sont au nombre de  (calcul classique :  ).

 

Le nombre cherché est donc le nombre d’applications de l’ensemble  dans l’ensemble E.

Ce nombre vaut : .

 

 

 

Question 3.

 

Soit * une loi de composition interne sur E. On suppose que * possède un élément neutre e.

Nous rappelons, ce point est essentiel, que cet élément neutre est alors unique et qu’il vérifie :

 

 

Pour une telle loi de composition, le résultat de  est donc fixé dès lors que x ou y est égal à e.

On va donc ici s’intéresser au sous-ensemble G de  défini par :

 

 

G n’est autre que .

On a donc : .

 

Dès lors que l’élément neutre e (n’oublions pas qu’il s’agit d’un élément de E !) est fixé, il convient donc de chercher le nombre d’applications de G dans E. D’après la première question, il y en a : .

Enfin, l’élément neutre pouvant être choisi parmi les n éléments de E, on peut conclure :

 

 

 

Question 4.

 

Une fois un élément neutre choisi, il convient d’obtenir la commutativité sur les  éléments restants, c’est à dire sur  sans oublier que les valeurs obtenues après composition sont les éléments de E. D’après la deuxième question, on aura .

Puisque nous avons toujours n possibilités de choix pour l’éléments neutres, il vient finalement :