Calculer, pour tout couple de réels :
Analyse
La présence des réels a et b n’induit pas de difficulté particulière. Le calcul fait appel à des sommes classiques …
Résolution
Puisque ,
la plus petite valeur possible de j est 2 et la plus grande valeur
possible de i, pour j fixé, est
.
On a donc, pour amorcer le calcul :
On utilise alors la somme classique : .
On en tire : .
Il vient alors :
La somme des coefficients des trois sommes apparaissant dans le crochet étant nulle, on peut remplacer le contenu du crochet par :
Ici, on doit alors utiliser : et la somme mentionnée plus haut.
Il vient :
Le contenu du crochet est de la forme où f est une fonction polynôme de degré
2.
On constate que la somme des coefficients est nulle ;
on peut donc factoriser par .
On obtient facilement :
Finalement :
Le calcul est ainsi achevé.
Résultat final