Quelques calculs classiques sur le thème des dominos … Attention aux doubles !

 

 

 

1.      Chaque moitié de domino peut prendre 7 valeurs (correspondant au nombre de points présents : 0 à 6). Pour simplifier le décompte, on peut distinguer les dominos doubles (les deux moitiés comportent le même nombre de points) des autres.

 

On a ainsi facilement 7 dominos doubles que l’on peut noter : 00, 11, 22, 33, 44, 55 et 66.

 

Pour ce qui est des autres dominos, il convient simplement de tirer sans remise DEUX valeurs dans l’ensemble , l’ordre étant sans importance. On doit donc déterminer le nombre N de combinaisons de deux éléments parmi 7 : .

 

 

 

2.      Avant de donner les nombres demandés, on peut noter qu’en tirant deux dominos quelconques simultanément, on a un total de  tirages possibles. Pour chaque tirage, on a seulement deux possibilités : les dominos sont compatibles ou incompatibles. Si on note respectivement  et  le nombre de tirages de dominos compatibles et celui de dominos incompatibles, il vient immédiatement :

 

 

 

Il s’agit d’un élément de vérification pratique.

 

 

Commençons par déterminer le nombre de tirage de deux dominos compatibles.

 

Les deux dominos doivent avoir une moitié « commune », par exemple : 10 et 04.

Fixons donc la valeur de cette moitié. Il y a un total de 7 dominos comportant cette moitié. Il y a donc  façons de tirer deux tels dominos.

Puisque l’on peut raisonner ainsi à partir de 7 valeurs possibles de la moitié commune, il vient :  

 

 

 

Déterminons maintenant le nombre de tirage de dominos incompatibles.

 

Bien que les dominos soient tirés simultanément, identifions-les par D1 et D2.

 

Si D1 est un domino double, tirer un domino D2 incompatible avec D1 revient à tirer un domino parmi les 27 dominos restants ne comportant pas de moitié égale à celle du double considéré. Il s’agit en fait du nombre de dominos pouvant être construits non pas avec 7 valeurs mais 6 possibles. Il y en a : . Comme il y a 7 dominos doubles, on doit multiplier le nombre précédent par 7 : .

 

Supposons maintenant que D1 ne soit pas double. D2 ne sera pas compatible avec D1 si ses moitiés ne correspondent pas à celles de D1. Le nombre de possibilités consiste cette fois à déterminer le nombre de dominos pouvant être construit avec 5 valeurs possibles. Il y en a : . Comme il y a 21 dominos qui ne sont pas doubles, on arrive à un total de  possibilités.

 

En additionnant les deux valeurs ainsi obtenues, on obtient  possibilités.

Mais en ayant procédé de la sorte, chaque tirage a été comptabilisé DEUX fois. On doit donc diviser cette quantité par deux : .

 

Finalement :

 

 

 

A titre de vérification (partielle !), on constate alors que l’on a bien : .

 

3.      Nous reprenons les questions précédentes en supposant cette fois que le nombre de valeurs prises par les moitiés des dominos est égal à  (dans la situation étudiée aux questions 1 et 2, on a  ). Nous les notons 0, 1, 2, …, n.

 

Nous commençons par déterminer le nombre total de dominos.

 

Il y a  dominos doubles.

 

Pour obtenir le nombre total de dominos non doubles, il suffit alors de considérer toutes les combinaisons de 2 valeurs dans l’ensemble . Il y en a : .

 

Finalement :

 

 

 

 

 

Comme précédemment, déterminons le nombre total  de tirages de deux dominos parmi . Il s’agit simplement de :

 

 

 

 

Déterminons maintenant le nombre  de tirages de deux dominos compatibles.

 

Il y a  valeur possibles pour la moitié commune et  dominos comportant cette moitié. Il y a  façons de choisir deux dominos parmi eux. Il vient alors :

 

 

 

 

 

Déterminons maintenant le nombre de tirage de deux dominos incompatibles.

 

Comme précédemment, bien que les dominos soient tirés simultanément, identifions-les par D1 et D2.

 

Si D1 est un domino double, tirer un domino D2 incompatible avec D1 revient à déterminer le nombre de dominos pouvant être construits à l’aide de n valeurs. Il y en a : . Comme il y a  domino doubles, on doit multiplier le nombre précédent par  : .

 

Supposons maintenant que D1 ne soit pas double. D2 ne sera pas compatible avec D1 si ses moitiés ne correspondent pas à celles de D1. Le nombre de possibilités consiste cette fois à déterminer le nombre de dominos pouvant être construits à partir de  valeurs. Il y en a : . Comme il y a  dominos qui ne sont pas doubles, on arrive à un total de  possibilités.

 

En additionnant les deux valeurs ainsi obtenues, on obtient un nombre total de possibilités de :

 

 

 

Mais en ayant procédé de la sorte, chaque tirage a été comptabilisé DEUX fois. On doit donc diviser cette quantité par deux et o obtient :  

 

Finalement : .

 

 

 

A titre de vérification, on constate alors que l’on a bien :

 

.

 

Remarque. On a : .

Par ailleurs : .

On déduit de ces deux expressions :  et .