Calculer :
et
Analyse
On adopte des démarches similaires pour les deux calculs.
L’idée essentielle consiste à se ramener à des sommes connues en travaillant,
par exemple pour la 1ère somme, avec .
Résolution
Pour simplifier les écritures, nous notons, pour tout p
entier naturel : .
Dans cet exercice, on doit donc calculer et
.
Rappelons, par ailleurs, que l’on a :
,
et
On a :
Mais on a également :
Les deux expressions obtenues nous permettent donc d’écrire :
Soit :
Il vient alors :
On retrouve le résultat « classique » : .
Pour le second calcul, nous procédons de la même façon :
Mais on a également :
Les deux expressions obtenues nous permettent donc d’écrire :
Soit :
Il vient alors :
On peut factoriser sous la forme :
(remarque : la factorisation de
fait apparaître des racines irrationnelles qui
ne conduisent à aucune simplification d’écriture particulière …).
Finalement :
Résultat final
et