On adopte des démarches similaires pour les deux calculs. L’idée essentielle consiste à se ramener à des sommes connues en travaillant, par exemple pour la 1^ère somme, avec .

 

 

 

On a :

 

 

 

 

 

Pour i fixé, on a :

 

 

 

On peut donc écrire :  (remarque : la deuxième somme n’est pas définie pour  ).

 

On a :

 

 

 

Lorsque , la deuxième ligne du calcul ci-dessus donne : .

Or, dans ce cas, . La formule que nous venons d’obtenir est donc valable pour toutes les valeurs de i.

 

Il vient alors :

 

 

 

 

 

Pour calculer , nous pouvons remarquer que l’on a :

 

 

 

On en tire donc immédiatement :

 

 

 

D’où :

 

 

 

 

 

Nous allons cependant procéder comme pour le calcul de .

 

 

Pour i fixé, on a :

 

 

 

On peut donc écrire :  (remarque : ici encore, la deuxième somme n’est pas définie pour  ).

 

On a :

 

 

 

Lorsque , la troisième ligne du calcul ci-dessus donne : .

Or, dans ce cas, . La formule que nous venons d’obtenir est donc valable pour toutes les valeurs de i.

 

Il vient alors :

 

 

 

On a ainsi retrouvé le résultat obtenu précédemment.