La densité de la loi du
à n (entier naturel non nul) degrés de
liberté est définie par :
Avec : ,
constante strictement positive.
1. Calculer, pour tout réel t
strictement positif .
2. A quelle condition sur l’entier n,
la fonction admet-elle un extremum ?
3. En supposant satisfaite la condition
obtenue à la question 2, préciser la nature de l’extremum, donner la valeur de t correspondant à cet extremum et
montrer que l’on a :
Analyse
Un exercice qui vise à déterminer le mode de la loi du à n degrés de liberté lorsqu’il existe.
La possibilité d’annulation de la dérivée calculée à la première question avec
changement de signe nous donne la condition nécessaire et suffisante
d’existence d’un maximum local. A la troisième question, on montre facilement
que ce maximum est global.
Résolution
Question 1.
La fonction est dérivable sur
comme produit de deux fonctions dérivables sur
cet intervalle et on a, pour tout réel t strictement positif :
Question 2.
Comme on travaille sur un intervalle ouvert de et comme la fonction
y est dérivable, on a :
la fonction admet un extremum pour une valeur
si, et seulement si, la dérivée de
s’annule en
en changeant de signe.
Or, pour tout réel t strictement positif, on a :
.
Par ailleurs, le facteur s’annule pour une valeur strictement positive
de t si, et seulement si,
(la valeur annulant la dérivée valant alors
). Enfin, dans ce cas, le monôme
s’annule en
en changeant de signe.
En définitive :
La
fonction admet un extremum si, et seulement si, on
a :
.
Question 3.
On suppose dans cette question, que l’on a : .
La constante étant strictement positive, on a :
.
Il vient alors :
·
Pour ,
on a
et donc
.
La fonction
est strictement croissante sur cet intervalle.
·
.
·
Pour ,
on a
et donc
.
La fonction
est strictement décroissante sur l’intervalle
.
On déduit de ce qui précède que la fonction admet un maximum global en
.
On a alors :
Pour
,
la fonction
admet un maximum global en
et on a :