On considère une variable
aléatoire X continue et définie sur l’intervalle .
Sa loi de probabilités admet pour densité la fonction f définie par :
On suppose que l’on a :
et
.
Déterminer les réels a, b et c.
Analyse
Il convient de déterminer trois valeurs (celles de a , b et c). On utilise une relation fondamentale que doit vérifier toute densité sur l’intervalle sur lequel elle est définie ainsi que les deux probabilités données dans l’énoncé. On obtient ainsi, via le calcul de trois intégrales, un système de trois équations à trois inconnues …
Résolution
La fonction f doit
d’abord vérifier : .
Or, on a :
D’où : .
On a ensuite :
Or, on a :
D’où : .
On a enfin :
Or, on a :
D’où : .
On doit donc résoudre le système :
On a :
Finalement :
Résultat final
La
fonction est la densité de la loi de probabilité de la
variable aléatoire X définie sur l’intervalle
et vérifiant
et
pour :