On considère un triangle ABC rectangle en C.
On note le pied de la hauteur issue de C et h la longueur du segment
.
On note a et b les longueurs des
segments et
respectivement. On a donc
.
On considère la variable
aléatoire X définie sur l’intervalle et y suivant la loi uniforme. A toute valeur x prise par X on associe un unique point
M du segment
tel que
.
On note le pied de la hauteur issue de M et
la longueur du segment
.
Dans ces conditions,
est une réalisation d’une variable aléatoire
définie sur
.
1. Exprimer h en fonction de a et b.
2. Exprimer en fonction de a, b et x.
3. Donner .
Application numérique :
et
.
Analyse
Loi uniforme et géométrie … De quoi se rafraîchir (un peu) la mémoire en géométrie du triangle et réfléchir à la notion d’événement, l’idée fondamentale consistant à ramener le calcul de probabilité demandé au calcul d’une probabilité relative à la variable aléatoire X.
Résolution
Question 1.
On peut obtenir h de bien des façons.
Nous proposons ici d’utiliser l’aire du triangle ABC, aire s’exprimant très
simplement du fait que le triangle est rectangle.
Cette aire peut, par exemple, être exprimée des deux façons suivantes :
Soit :
On en déduit immédiatement :
Question 2.
Ici encore, nous avons recours aux aires.
On a :
Mais on a aussi :
On en tire :
Soit, finalement :
Question 2.
Intéressons-nous, dans un
premier temps, au rapport :
Il vient alors, en tenant compte du fait que x est positif :
Cette équivalence est au cœur de notre calcul en ce sens qu’elle permet de se ramener à un événement simple relatif à la variable aléatoire X dont la loi est connue.
On en déduit, X variant
uniformément dans :
Remarque : le résultat
obtenu ne dépend en fait que du seul rapport :
Avec les valeurs données, on a : et
.
D’où :