On considère deux variables aléatoires réelles indépendantes
X et Y de même loi uniforme sur l’intervalle 
.
On pose : 
et 
.
1. Déterminer les fonctions de répartition et les densités de R et S.
2. On pose : 
. Calculer 
.
Analyse
Un exercice classique autour de la loi uniforme qui permet en fait (2ème question) de répondre à un petit « problème pratique » …
Résolution
Question 1.
On a facilement l’équivalence : 
.
D’où : 
.
Les V.A.R. X et Y étant indépendantes : 
.
Comme X et Y suivent la même loi uniforme sur l’intervalle 
, il vient :
·
Si 
: 
et 
.
·
Si 
: 
et 
.
·
Si 
: 
et 
.
La fonction de répartition 
de la V.A.R. S est
dérivable partout sur 
sauf en 1 et on a
immédiatement :
·
Si , 
;
·
Si 
, 
;
·
Si , .
En choisissant : 
(ce choix est
arbitraire … n’importe quelle valeur positive aurait convenu), il vient
finalement :
où 
désigne la fonction
indicatrice de l’intervalle .
On a également l’équivalence : 
.
D’où : 
.
Les V.A.R. X et Y étant indépendantes : 
.
Comme X et Y suivent la même loi uniforme sur l’intervalle , il vient :
·
Si 
: 
et 
.
·
Si : 
et 
.
·
Si 
: 
et 
.
Donc :
La fonction de répartition 
de la V.A.R. R est
dérivable partout sur sauf en 0 et on a
immédiatement :
·
Si , 
;
·
Si 
, 
;
·
Si , .
En choisissant : 
, il vient finalement :
En définitive :
et
et
Question 2.
Notons que l’on a :
Il vient alors immédiatement (linéarité de l’espérance) :
On a : 
et 
.
D’où :
Ce résultat peut être interprété simplement : si on considère un segment de longueur arbitraire non nulle (on peut toujours poser que cette longueur est égale à 1, ce qui simplifie les calculs mais ne change rien à leur portée !) et que l’on choisit deux points au hasard sur ce segment (typiquement les positions de ces points correspondent aux valeurs des V.A.R. X et Y) alors la distance moyenne entre ces deux points sera égale au tiers de la longueur initiale.