Nous proposons ici deux approches : dans la première, nous utilisons la somme de deux tangentes réciproques pour identifier une somme « classique » tandis que dans la seconde, nous étudions la fonction A.

 

 

 

 

Première approche

 

Notons, dans un premier temps, que l’on a :  (comparer les carrés) et .

 

La forme des deux arguments (  et x) suggère de simplifier, dans un premier temps, la somme : .

 

Pour cela, il nous faut comparer le produit  et 1.

 

• Pour
  
  , on a immédiatement
  
   ;
• Pour
  
  , on peut étudier sur
  
   la fonction
  
   définie par :

 

On montre que  est strictement décroissante sur , que  et que l’on a . On en déduit alors que pour tout x réel strictement positif, on a , soit .

 

Finalement : .

 

On a l’égalité (valable pour tout couple  de réels tels que  ) :

 

 

Il vient alors :

 

 

 

On en déduit :

 

 

 

On constate que l’expression  est la somme de deux tangentes réciproques de deux nombres strictement positifs inverses l’un de l’autre. Cette somme est alors égale à .

 

 

 

 

Deuxième approche

 

Nous travaillons cette fois avec la fonction A définie sur  par :

 

 

Cette fonction est dérivable sur  comme somme de fonctions dérivables :

• La dérivée de la fonction
  
   est la fonction
  
   ;
• La dérivée de la fonction
  
   est la fonction qui à tout réel x associe le réel :

 

 

On en tire : .

On en déduit que la fonction A est une fonction constante sur . Pour en déterminer la valeur, nous pouvons, par exemple, calculer .

On a facilement : .

On retrouve le résultat obtenu précédemment.

Finalement :