C’est la dérivée de la fonction f qui va nous permettre de conclure …

 

 

 

 

La fonction f est définie pour toute valeur de x telle que :

 

• 
  
   ;
• 
  
  .

 

On a immédiatement :  et .

 

On travaille donc sur l’intervalle .

 

Sur cet intervalle, la dérivée de la fonction :  est la fonction .

Sur l’intervalle  (on ouvre en  du fait de la racine carrée non dérivable en 0), la dérivée de la fonction  est la fonction .

 

On peut enfin dériver la fonction f :

 

 

 

Or, la fonction  n’est autre que la dérivée de la fonction  sur l’intervalle . On en déduit alors, pour tout réel x de  que l’on a :

 

 

 

La constante k est à déterminer.

 

Pour , on a facilement : .

L’expression que nous venons d’obtenir donne par ailleurs : .

On en déduit : .

D’où :

 

 

 

Pour , on a : .

Par ailleurs : .

 

En définitive :