Il convient ici de vérifier que  satisfait à la définition d’une norme.

 

 

 

Soit P un élément quelconque de E.

Par définition de la valeur absolue, on a : .

On en déduit immédiatement : .

Soit : .

 

Soit maintenant P un élément de E tel que .

On a donc, par définition : .

D’où : .

Alors : .

Le seul polynôme égal à son polynôme dérivé pour une infinité de valeurs est le polynôme nul (on établit d’abord qu’il s’agit d’un polynôme de degré 0 puis qu’il s’agit du polynôme nul).

D’où : .

 

Soit maintenant  un réel quelconque.

On a : .

Or,  et  (cette égalité est en fait valable pour tout t réel).

D’où : .

On en déduit :

 

C’est à dire :

 

 

Soit maintenant P et Q deux éléments de E.

Pour tout t réel, on a :

 et  

Et

 

D’où :

 

Soit :

 

En particulier :

 

Il vient alors :

 

C’est à dire :