L’une des implications est évidente. On peut montrer la seconde en établissant la contraposée. Lorsque les centres diffèrent, on peut facilement construire un vecteur unitaire intéressant.

 

 

 

Si on considère deux boules fermées  et  ayant le même centre (  ) et le même rayon (  ), on a naturellement affaire à une seule et même boule puisque pour tout vecteur  de E :

 

 

 

 

Considérons donc maintenant l’implication : .

Nous allons en établir la contraposée :  

 

Supposons pour commencer : .

 

Considérons alors les deux vecteurs :

 

 et  

 

La figure ci-dessous permet d’illustrer le choix des vecteurs  et  :

 

 

Le vecteur  appartient à  : .

De façon analogue, le vecteur  appartient à  : .

 

Mais : .

On en déduit : .

 

En procédant de façon analogue avec le vecteur , on obtient :

 

Puis :

 

 

Ainsi, on peut envisager deux situations :

 

• Si
  
   alors
  
  . On en déduit ainsi que le vecteur
  
  , élément de
  
  , n’appartient pas à
  
   ;
• Si
  
   alors
  
  . On en déduit ainsi que le vecteur
  
  , élément de
  
  , n’appartient pas à
  
  .

 

Dans les deux cas on a exhibé un vecteur élément de l’une des boules qui n’est pas élément de l’autre. La conclusion est immédiate : .

 

 

La deuxième situation, , peut-être traitée simplement en supposant  puisque la situation  a été prise en compte précédemment. Il convient donc ici de comparer les boules fermées  et .

Si on suppose , on a immédiatement , l’inclusion étant stricte puisque si on considère, par exemple, un vecteur  de  tel que , alors on aura  et donc . Une fois encore, les deux boules diffèrent.

 

Le résultat est finalement établi.