Démontrer qu’une boule ouverte d’un espace vectoriel normé est un ouvert.
Analyse
Il s’agit pratiquement d’une question de cours … Il suffit d’établir que tout point de la boule est contenu dans une boule, elle-même incluse dans la boule donnée.
Résolution
On considère donc ,
boule fermé de centre
et de rayon r d’un espace vectoriel
normé
.
Pour établir qu’il s’agit d’un ouvert, nous allons montrer qu’en tout élément
de
nous pouvons centrer une boule ouverte
incluse dans
.
La figure ci-dessous illustre l’approche adoptée :
Le résultat est alors obtenu en choisissant le rayon inférieur strictement à
.
Par exemple, prenons .
Il vient alors, pour tout
de
:
On en tire que est un élément de
.
Donc :
.
Finalement, on a établi que était un voisinage de chacun de ses points.
La boule est bien un ouvert.